Topic Name
Content...
ब्रम्हास्त्र Trick
Short trick here...
Police Bharti मध्ये 100% येतो!
🎯 Day 6: गुणोत्तर आणि प्रमाण - 3 Sec Trick | Police Bharti 2026
📑 या लेखात काय शिकाल?
- गुणोत्तर म्हणजे काय? प्रमाण म्हणजे काय? - बेसिक ते ऍडव्हान्स
- मध्यानुपाती, तृतीयानुपाती, चतुर्थानुपाती - 3 सेकंद ट्रिक
- गुणोत्तरातील बदल - संख्या वाढवणे/कमी करणे
- मिश्रणाचे प्रश्न - दूध-पाणी, अल्कोहोल
- वयाचे प्रश्न गुणोत्तराने
- नफा-तोटा, भागीदारी गुणोत्तराने
- 50+ Solved Examples Police Bharti Pattern
- Practice Questions + PDF Notes
1. गुणोत्तर आणि प्रमाण - मूलभूत संकल्पना
गुणोत्तर (Ratio): दोन समान प्रकारच्या राशींची तुलना भागाकाराने केली तर त्याला गुणोत्तर म्हणतात. उदा. रामचे वय 20 वर्षे आणि शामचे वय 25 वर्षे असेल, तर त्यांच्या वयाचे गुणोत्तर 20:25 = 4:5 असे लिहितात. येथे 4 ला 'पूर्वपद' आणि 5 ला 'उत्तरपद' म्हणतात.
प्रमाण (Proportion): दोन गुणोत्तरे समान असतील तर त्यांना प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. उदा. 2:3 = 4:6. हे a:b :: c:d असे लिहितात. येथे a आणि d ला 'बाह्यपदे' आणि b आणि c ला 'मध्यपदे' म्हणतात. प्रमाणाचा सर्वात महत्वाचा नियम: बाह्यपदांचा गुणाकार = मध्यपदांचा गुणाकार, म्हणजे a × d = b × c.
⚡ आजची Super Trick: "तीन संख्या प्रमाणात असतील तर मधली संख्या"
नियम: जर a, b, c प्रमाणात असतील तर b² = a × c आणि b = √(a × c). याला 'मध्यानुपाती' म्हणतात. ही Trick Police Bharti मध्ये 90% वेळा वापरली जाते.
2. मध्यानुपाती (Mean Proportional) - 3 Sec Trick
🔥 Example 1: मधली संख्या काढा
Q: 4, x, 25 या प्रमाणात आहेत, तर x = ?
Normal Method: 4/x = x/25 → x² = 100 → x = 10. वेळ लागतो.
Trick Method: x = √(4 × 25) = √100 = 10. फक्त 2 सेकंदात ✅
Q: 9 आणि 16 यांचा मध्यानुपाती किती?
Trick: √(9 × 16) = √144 = 12 ✅
Police Bharti 2023 प्रश्न: 5 आणि 45 यांचा मध्यानुपाती काढा.
उत्तर: √(5 × 45) = √225 = 15 ✅
3. तृतीयानुपाती (Third Proportional)
जर a, b, c प्रमाणात असतील तर c ला a आणि b चा 'तृतीयानुपाती' म्हणतात. Formula: c = b² / a
🔥 Example 2: तृतीयानुपाती
Q: 4, 8, x हे प्रमाणात आहेत, तर x = ?
Trick: x = 8² / 4 = 64 / 4 = 16 ✅
Q: 3 आणि 12 यांचा तृतीयानुपाती किती?
उत्तर: 12² / 3 = 144 / 3 = 48 ✅
4. चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional)
जर a:b :: c:d असेल, तर d ला a, b, c चा 'चतुर्थानुपाती' म्हणतात. Formula: d = (b × c) / a
🔥 Example 3: चतुर्थानुपाती
Q: 6, 8, 9, x हे प्रमाणात आहेत, तर x = ?
Trick: a/b = c/d → 6/8 = 9/x → x = (8×9)/6 = 72/6 = 12 ✅
Talathi 2022 प्रश्न: 2 : 5 :: 8 : x, तर x = ?
उत्तर: x = (5×8)/2 = 40/2 = 20 ✅
5. गुणोत्तरात वाढ/घट - सर्वात महत्वाचे प्रश्न
Police Bharti मध्ये 10 पैकी 4 प्रश्न या प्रकारचे असतात. नियम: संख्या 3x, 5x अशा माना आणि समीकरण सोडवा.
🔥 Example 4: प्रत्येकीत संख्या मिळवणे
Q: दोन संख्यांचे गुणोत्तर 3:5 आहे. प्रत्येकीत 10 मिळवल्यास गुणोत्तर 5:7 होते. तर संख्या कोणत्या?
Trick: संख्या 3x आणि 5x माना.
(3x+10) / (5x+10) = 5/7 → 7(3x+10) = 5(5x+10) → 21x+70 = 25x+50 → 4x = 20 → x=5
म्हणून संख्या = 3×5=15 आणि 5×5=25. Ans: 15, 25 ✅
🔥 Example 5: प्रत्येकीतून वजा करणे
Q: दोन संख्यांचे गुणोत्तर 5:8 आहे. प्रत्येकीतून 4 वजा केल्यास गुणोत्तर 1:2 होते. संख्या कोणत्या?
Trick: संख्या 5x आणि 8x माना.
(5x-4) / (8x-4) = 1/2 → 2(5x-4) = 1(8x-4) → 10x-8 = 8x-4 → 2x = 4 → x=2
म्हणून संख्या = 5×2=10 आणि 8×2=16. Ans: 10, 16 ✅
6. मिश्रणाचे प्रश्न - दूध-पाणी Trick
नियम: जर भांड्यात A आणि B चे गुणोत्तर x:y असेल आणि त्यातून काही मिश्रण काढून B ओतले तर नवीन गुणोत्तर काढण्यासाठी Replacement Formula वापरा.
🔥 Example 6: दूध-पाणी
Q: 40 लिटर मिश्रणात दूध आणि पाण्याचे गुणोत्तर 3:1 आहे. किती पाणी मिळवले असता गुणोत्तर 3:2 होईल?
Trick: दूध = 3/4 × 40 = 30 लिटर, पाणी = 10 लिटर.
दूध तेच राहणार = 30 लिटर. नवीन गुणोत्तर 3:2 म्हणजे दूध 3 भाग = 30 लिटर, म्हणून 1 भाग = 10 लिटर.
नवीन पाणी = 2 भाग = 20 लिटर. आधी 10 लिटर होते, म्हणजे 10 लिटर पाणी मिळवावे ✅
7. वयाचे प्रश्न गुणोत्तराने
🔥 Example 7: वय
Q: A आणि B यांच्या सध्याच्या वयाचे गुणोत्तर 4:5 आहे. 8 वर्षांनंतर त्यांच्या वयाचे गुणोत्तर 5:6 होईल. तर A चे सध्याचे वय किती?
Trick: वये 4x आणि 5x माना.
(4x+8) / (5x+8) = 5/6 → 6(4x+8) = 5(5x+8) → 24x+48 = 25x+40 → x=8
A चे सध्याचे वय = 4×8 = 32 वर्षे ✅
8. नफा-तोटा, भागीदारी गुणोत्तराने
नियम: भांडवल × मुदत यांच्या गुणोत्तरात नफा वाटला जातो.
🔥 Example 8: भागीदारी
Q: A ने 12000 रु. 8 महिन्यांसाठी आणि B ने 16000 रु. 6 महिन्यांसाठी गुंतवले. नफा 18000 रु झाला तर A चा वाटा किती?
Trick: A : B = 12000×8 : 16000×6 = 96000 : 96000 = 1:1
A चा वाटा = 1/2 × 18000 = 9000 रु ✅
💡 महत्वाचे Formula लक्षात ठेवा
| प्रकार | Formula | Example | Exam Use |
|---|---|---|---|
| मध्यानुपाती | b = √(a × c) | 4, x, 25 → x=10 | Police, Talathi |
| तृतीयानुपाती | c = b² / a | 4, 8, x → x=16 | SSC, MPSC |
| चतुर्थानुपाती | d = (b × c) / a | 6:8::9:x → x=12 | All Exams |
| समप्रमाण | a/b = c/d → ad = bc | 2/3 = 4/6 | Basic |
| व्यस्त प्रमाण | a × b = c × d | वेग × वेळ | Time-Work |
9. सरावासाठी 20 महत्वाचे प्रश्न
✍️ स्वतः सोडवा - Comment करा:
1. 9, x, 16 प्रमाणात आहेत, तर x = ?
2. 5:7 :: 15:x, तर x = ?
3. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 2:3 आहे. प्रत्येकीत 8 मिळवल्यास 3:4 होते. संख्या कोणत्या?
4. 12 आणि 27 यांचा मध्यानुपाती किती?
5. 6:10 :: x:25, तर x = ?
6. दोन संख्यांची बेरीज 60 आणि गुणोत्तर 2:3 आहे. तर संख्या कोणत्या?
7. A:B = 3:4, B:C = 5:6, तर A:C = ?
8. 45 लिटर मिश्रणात दूध:पाणी = 4:1. किती पाणी मिळवल्यास गुणोत्तर 4:3 होईल?
9. राम आणि शाम यांच्या वयाचे गुणोत्तर 3:5 आहे. 10 वर्षांपूर्वी 1:2 होते. शामचे सध्याचे वय?
10. 2, 3, x, 18 प्रमाणात आहेत, तर x = ?
⚠️ Exam Tip: SSC, Police, Talathi, MPSC मध्ये गुणोत्तराचे 2-3 प्रश्न नक्की येतात. वरील 5 Formula आणि 3 Tricks पाठ केल्या तर 100% गुण मिळतील. मागील 5 वर्षाचे पेपर बघा - 90% प्रश्न याच Pattern चे आहेत!
🔥 गुणोत्तर आणि प्रमाण - 50 Solved Questions | Police Bharti 2026
Q1. 3 : 5 :: 12 : x
Ans: x = (5 × 12) ÷ 3 = 20 ✅
Q2. 4, x, 36 प्रमाणात आहेत.
Ans: x = √(4 × 36) = √144 = 12 ✅
Q3. 7 : 9 :: 21 : x
Ans: x = (9 × 21) ÷ 7 = 27 ✅
Q4. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 2 : 3 आहे व बेरीज 40 आहे.
Ans: 2x + 3x = 40 → 5x = 40 → x = 8
संख्या = 16 आणि 24 ✅
Q5. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 5 : 7 आहे व फरक 18 आहे.
Ans: 7x - 5x = 18 → 2x = 18 → x = 9
संख्या = 45 आणि 63 ✅
Q6. 8, 12, x प्रमाणात आहेत.
Ans: x = 12² ÷ 8 = 144 ÷ 8 = 18 ✅
Q7. 15 : x :: 25 : 35
Ans: 15/x = 25/35 → x = (15 × 35) ÷ 25 = 21 ✅
Q8. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 4 : 7 आहे. प्रत्येकीत 3 मिळवल्यावर गुणोत्तर 5 : 8 होते. संख्या शोधा.
Ans: संख्या = 4x आणि 7x
(4x+3)/(7x+3)=5/8 → 32x+24=35x+15 → 3x=9 → x=3
संख्या = 12 आणि 21 ✅
Q9. 9 : 12 :: x : 20
Ans: x = (9 × 20) ÷ 12 = 15 ✅
Q10. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 3 : 4 आहे. बेरीज 84 आहे.
Ans: 3x + 4x = 84 → 7x = 84 → x = 12
संख्या = 36 आणि 48 ✅
Q11. A:B = 2:3, B:C = 4:5, तर A:B:C = ?
Ans: B समान करा: A:B = 8:12, B:C = 12:15 → A:B:C = 8:12:15 ✅
Q12. 60 रु. A, B, C मध्ये 2:3:5 प्रमाणात वाटले. B ला किती मिळाले?
Ans: एकूण भाग = 10. B चा वाटा = 3/10 × 60 = 18 रु ✅
Q13. 10 आणि 40 यांचा मध्यानुपाती किती?
Ans: √(10×40) = √400 = 20 ✅
Q14. 5, 15, x प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: x = 15²/5 = 225/5 = 45 ✅
Q15. एका वर्गात मुले:मुली = 3:2. एकूण 50 विद्यार्थी असतील तर मुली किती?
Ans: मुली = 2/5 × 50 = 20 ✅
Q16. 2 : 3 :: x : 18, तर x = ?
Ans: x = (2×18)/3 = 12 ✅
Q17. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 7:9 आहे. लहान संख्या 35 असेल तर मोठी संख्या?
Ans: 7 भाग = 35 → 1 भाग = 5. मोठी संख्या = 9×5 = 45 ✅
Q18. 8 : x :: 12 : 18, तर x = ?
Ans: x = (8×18)/12 = 12 ✅
Q19. 16, x, 25 प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: x = √(16×25) = √400 = 20 ✅
Q20. सोने आणि चांदीच्या दराचे गुणोत्तर 15:2 आहे. जर चांदीचा दर 2000 रु/तोळा असेल तर सोन्याचा दर?
Ans: 15/2 = x/2000 → x = 15×1000 = 15000 रु/तोळा ✅
Q21. A आणि B च्या पगाराचे गुणोत्तर 5:7 आहे. B चा पगार A पेक्षा 4000 ने जास्त आहे. A चा पगार किती?
Ans: 7x-5x=4000 → 2x=4000 → x=2000. A = 5×2000 = 10000 रु ✅
Q22. 4, 6, 9, x प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: 4/6 = 9/x → x = (6×9)/4 = 13.5 ✅
Q23. त्रिकोणाच्या कोनांचे गुणोत्तर 2:3:4 आहे. सर्वात मोठा कोन किती?
Ans: 2x+3x+4x=180 → 9x=180 → x=20. मोठा कोन = 4×20 = 80° ✅
Q24. 100 रु. A, B मध्ये 2:3 प्रमाणात वाटले. A ला किती मिळाले?
Ans: A = 2/5 × 100 = 40 रु ✅
Q25. 18 आणि 32 यांचा मध्यानुपाती किती?
Ans: √(18×32) = √576 = 24 ✅
Q26. दोन संख्यांचा गुणाकार 384 आणि गुणोत्तर 3:4 आहे. संख्या कोणत्या?
Ans: 3x × 4x = 384 → 12x²=384 → x²=32 → x=√32. संख्या = 3√32 आणि 4√32 ✅
Q27. 5 : 8 :: 20 : x, तर x = ?
Ans: x = (8×20)/5 = 32 ✅
Q28. 6, 9, x प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: x = 9²/6 = 81/6 = 13.5 ✅
Q29. 120 लिटर मिश्रणात अल्कोहोल:पाणी = 7:5. किती पाणी मिळवले असता गुणोत्तर 7:9 होईल?
Ans: अल्कोहोल = 7/12×120=70, पाणी=50. 70/x=7/9 → x=90. मिळवावे = 90-50 = 40 लिटर ✅
Q30. A, B, C यांच्या वयाचे गुणोत्तर 3:5:7 आहे. 10 वर्षांनंतर बेरीज 85 वर्षे होईल. तर B चे सध्याचे वय?
Ans: 3x+10 + 5x+10 + 7x+10 = 85 → 15x+30=85 → 15x=55 → x=11/3. B = 5×11/3 = 18.33 वर्षे ✅
Q31. 21, 28, x, 36 प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: 21/28 = x/36 → x = (21×36)/28 = 756/28 = 27 ✅
Q32. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 3:7 आहे. प्रत्येकीत 6 मिळवल्यास 5:9 होते. संख्या कोणत्या?
Ans: (3x+6)/(7x+6) = 5/9 → 27x+54 = 35x+30 → 8x=24 → x=3. संख्या = 9 आणि 21 ✅
Q33. 15 आणि 60 यांचा तृतीयानुपाती किती?
Ans: 60²/15 = 3600/15 = 240 ✅
Q34. एका नकाशात 1 cm = 50 km दाखवते. तर 4.5 cm किती km दाखवेल?
Ans: 1:50 :: 4.5:x → x = 4.5×50 = 225 km ✅
Q35. 80 विद्यार्थ्यांमध्ये मुले:मुली = 9:7. किती मुली आल्या तर गुणोत्तर 3:4 होईल?
Ans: मुले=45, मुली=35. 45/(35+x)=3/4 → 180=105+3x → 3x=75 → x= 25 मुली ✅
Q36. 2.5 : 3.5 :: 7.5 : x, तर x = ?
Ans: x = (3.5×7.5)/2.5 = 26.25/2.5 = 10.5 ✅
Q37. 25, x, 49 प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: x = √(25×49) = 5×7 = 35 ✅
Q38. A:B = 3:4, B:C = 8:9, तर A:B:C = ?
Ans: B समान करा: A:B=6:8, B:C=8:9 → A:B:C = 6:8:9 ✅
Q39. 729 रु. A, B, C मध्ये 1/2:1/3:1/4 प्रमाणात वाटले. B चा वाटा?
Ans: गुणोत्तर = 6:4:3. एकूण 13 भाग. B = 4/13×729 = 224.3 रु ✅
Q40. एका संख्येचे 40% आणि 60% यांचे गुणोत्तर किती?
Ans: 40x : 60x = 2:3 ✅
Q41. 5, 10, 20, x प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: 5/10 = 20/x → x = (10×20)/5 = 40 ✅
Q42. दोन संख्यांचे गुणोत्तर 11:15 आहे. लहान संख्येची 3 पट 33 असेल तर मोठी संख्या?
Ans: लहान = 33/3=11. 11 भाग=11 → 1 भाग=1. मोठी = 15×1 = 15 ✅
Q43. 0.8 : 1.2 :: x : 9, तर x = ?
Ans: x = (0.8×9)/1.2 = 7.2/1.2 = 6 ✅
Q44. 75 लिटर मिश्रणात स्पिरिट:पाणी = 3:2. किती पाणी काढले तर गुणोत्तर 3:1 होईल?
Ans: स्पिरिट=45, पाणी=30. 45/(30-x)=3/1 → 45=90-3x → 3x=45 → x= 15 लिटर ✅
Q45. 14 आणि 56 यांचा मध्यानुपाती किती?
Ans: √(14×56) = √784 = 28 ✅
Q46. A आणि B च्या उत्पन्नाचे गुणोत्तर 9:7 आणि खर्चाचे 4:3 आहे. प्रत्येकाची बचत 2000 रु असेल तर A चे उत्पन्न?
Ans: 9x-4y=2000, 7x-3y=2000. सोडवल्यावर x=2000. A उत्पन्न = 9×2000 = 18000 रु ✅
Q47. 1/2 : 2/3 :: 3/4 : x, तर x = ?
Ans: x = (2/3 × 3/4) ÷ 1/2 = (1/2) ÷ 1/2 = 1 ✅
Q48. दोन संख्यांची बेरीज 100 आणि गुणोत्तर 1:4 आहे. मोठी संख्या कोणती?
Ans: 1x+4x=100 → 5x=100 → x=20. मोठी = 4×20 = 80 ✅
Q49. 7, 14, x प्रमाणात आहेत. x = ?
Ans: x = 14²/7 = 196/7 = 28 ✅
Q50. एका कामाला 10 पुरुष किंवा 15 स्त्रिया 20 दिवसात पूर्ण करतात. तर 5 पुरुष आणि 10 स्त्रिया मिळून किती दिवसात करतील?
Ans: 10P=15S → P:S=3:2. एकूण काम = 10×3×20=600 युनिट. 5P+10S = 5×3+10×2=35 युनिट/दिवस. दिवस = 600/35 = 17.14 दिवस ≈ 17 दिवस ✅
10. निष्कर्ष आणि Exam Strategy
भाऊ, गुणोत्तर आणि प्रमाण हा Police Bharti, Talathi, SSC, MPSC चा सगळ्यात सोपा आणि Scoring Topic आहे. 2-3 प्रश्न नक्की येतात. वर दिलेले 50 Examples + 5 Formula पाठ केलेस तर 100% गुण मिळतील.
3 Golden Rules:
1. मध्यानुपाती: b = √(a×c) - 2 सेकंदात उत्तर.
2. वाढ/घट प्रश्न: संख्या 3x, 5x माना आणि समीकरण करा.
3. चतुर्थानुपाती: d = (b×c)/a - Cross Multiplication.
Last Minute Tip: पेपरमध्ये गुणोत्तराचा प्रश्न दिसला की आधी Option बघ. बऱ्याच वेळा उत्तर 10, 12, 15, 20, 25 यापैकीच असते. कारण √100, √144, √225, √400 हे सोपे वर्ग असतात.
PDF Notes हवे असतील तर: Telegram Channel "VisionGov Academy" वर Day 6 PDF टाका म्हणून Message कर.
⚠️ शेवटची सूचना: रोज 10 प्रश्न सोडव. 7 दिवसात गुणोत्तर-प्रकार तुझ्या मुठीत येईल. Police Bharti 2026 मध्ये 2 प्रश्न नक्की बरोबर येतील. All the best भावा! 💪
Post a Comment