नफा-तोटा 1 सेकंदात ZP 1 Mark PDF | MPSC, Police Bharti, Talathi Exam

🎯 संभाव्यता (Probability) कशी सोडवायची?

Police Bharti • Talathi • ZP • SSC • MPSC • Banking साठी 2 मार्क पक्के | Prashant Sir ची झ्याटू ट्रिक

नमस्कार मित्रांनो 🙏

संभाव्यता (Probability) हा Police Bharti, Talathi, ZP च्या पेपरमध्ये दरवर्षी 1-2 प्रश्न येणारा Topic आहे. 90% मुलं "नाणे, फासा, पत्ते" बघून घाबरतात. पण सत्य हे आहे की संभाव्यतेचे 95% प्रश्न फक्त 3 सूत्रांनी सुटतात.

आज आपण Zero पासून Hero पर्यंत जाणार. ही पोस्ट 3 वेळा वाचा. तुमचे 4 मार्क्स पक्के.

1. संभाव्यता म्हणजे काय? पायाभरणी

संभाव्यता = एखादी घटना घडण्याची शक्यता किती आहे हे मोजणे.

उदा: नाणे उडवले तर छापा येईल का काटा? 50-50 चान्स. म्हणजे संभाव्यता = 1/2.

1.1 महत्वाचे 3 शब्द - पाठ करा

शब्द	अर्थ	उदाहरण - नाणे	उदाहरण - फासा
Experiment	प्रयोग करणे	नाणे उडवणे	फासा टाकणे
Sample Space (S)	सर्व शक्य निकाल	{H, T} → n(S)=2	{1,2,3,4,5,6} → n(S)=6
Event (E)	अपेक्षित घटना	छापा येणे → {H}	सम संख्या → {2,4,6}

P(E) = n(E) / n(S) = अनुकूल निकाल / एकूण निकाल

2. संभाव्यतेचे 4 Golden Rules - दगडावरची रेघ

Rule 1: 0 ते 1 च्या मध्ये

संभाव्यता नेहमी 0 ≤ P(E) ≤ 1 असते. 0 म्हणजे कधीच घडणार नाही. 1 म्हणजे 100% घडणार. Negative किंवा 1 पेक्षा जास्त उत्तर आलं तर 100% चूक.

Rule 2: सर्व संभाव्यतांची बेरीज = 1

नाणे उडवलं: P(छापा) + P(काटा) = 1/2 + 1/2 = 1. फासा टाकला: P(1)+P(2)+...+P(6) = 1.

Rule 3: P(घडणार नाही) = 1 - P(घडेल)

पाऊस पडण्याची शक्यता 0.3 असेल तर न पडण्याची शक्यता = 1 - 0.3 = 0.7. हे "किमान एक" च्या प्रश्नात वापरतात.

Rule 4: OR आणि AND चा नियम

OR (किंवा): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). जर घटना एकमेकांवर अवलंबून नसतील तर P(A) + P(B).
AND (आणि): P(A ∩ B) = P(A) × P(B). जर घटना स्वतंत्र असतील तर.

3. नाणेफेक (Coin) - 5 सेकंदात सोडवा

1 नाणे: n(S) = 2¹ = 2 → {H, T}

2 नाणी: n(S) = 2² = 4 → {HH, HT, TH, TT}

3 नाणी: n(S) = 2³ = 8 → {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

n नाणी = 2ⁿ निकाल

उदाहरण 1: [Basic]

दोन नाणी एकाच वेळी टाकली. किमान एक छापा येण्याची संभाव्यता किती?

Solve: S = {HH, HT, TH, TT}, n(S)=4. अनुकूल = {HH, HT, TH}, n(E)=3. P = 3/4. उत्तर: 3/4

Trick: किमान एक = 1 - P(एकही नाही). P(एकही छापा नाही) = P(TT) = 1/4. 1 - 1/4 = 3/4.

उदाहरण 2: [Police Bharti 2022]

तीन नाणी टाकली. फक्त 2 छापे येण्याची संभाव्यता?

Solve: n(S) = 8. अनुकूल = {HHT, HTH, THH}, n(E)=3. P = 3/8

4. फासा (Dice) - 90% प्रश्न इथून

1 फासा: n(S) = 6¹ = 6 → {1,2,3,4,5,6}

2 फासे: n(S) = 6² = 36. Table काढणे गरजेचे.

n फासे = 6ⁿ निकाल

4.1 एका फाशाचे महत्वाचे Events

Event	अनुकूल निकाल	n(E)	P(E)
सम संख्या	{2,4,6}	3	3/6 = 1/2
विषम संख्या	{1,3,5}	3	3/6 = 1/2
मूळ संख्या	{2,3,5}	3	3/6 = 1/2
3 ने विभाज्य	{3,6}	2	2/6 = 1/3
4 पेक्षा मोठी	{5,6}	2	2/6 = 1/3

4.2 दोन फाशांच्या बेरजेची Trick

बेरीज 7 ची संभाव्यता सगळ्यात जास्त = 6/36 = 1/6. कारण 7 बनवण्याचे 6 मार्ग आहेत: (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1).
बेरीज 2 आणि 12 ची सगळ्यात कमी = 1/36. 2=(1,1) आणि 12=(6,6) फक्त एकच मार्ग.

बेरीज	मार्ग	संभाव्यता
2 किंवा 12	1	1/36
3 किंवा 11	2	2/36 = 1/18
4 किंवा 10	3	3/36 = 1/12
5 किंवा 9	4	4/36 = 1/9
6 किंवा 8	5	5/36
7	6	6/36 = 1/6

उदाहरण 3: [Talathi 2023]

दोन फासे टाकले. बेरजेला 9 येण्याची संभाव्यता किती?

Solve: बेरीज 9 चे मार्ग = (3,6)(4,5)(5,4)(6,3) = 4 मार्ग. P = 4/36 = 1/9

5. पत्ते (Cards) - 52 पत्ते पाठ करा

एकूण पत्ते = 52

4 प्रकार: बदाम (Spade) = 13, इस्पिक (Heart) = 13, चौकट (Diamond) = 13, किलवर (Club) = 13

काळे: बदाम + किलवर = 26. लाल: इस्पिक + चौकट = 26

प्रत्येक प्रकारात: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

चित्र पत्ते: राजा(K), राणी(Q), गुलाम(J) = 4×3 = 12

उदाहरण 4: [Basic]

एक पत्ता काढला. राजा मिळण्याची संभाव्यता?

Solve: राजे = 4. P = 4/52 = 1/13

उदाहरण 5: [OR Trick]

एक पत्ता काढला. तो राजा किंवा बदामचा असण्याची संभाव्यता?

Solve: P(राजा) = 4/52. P(बदाम) = 13/52. P(बदामचा राजा) = 1/52.
P(राजा ∪ बदाम) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13

6. चेंडू (Balls) - सगळ्यात सोपे

उदाहरण 6: [Police Bharti 2024]

एका पिशवीत 5 लाल, 4 हिरवे, 3 निळे चेंडू आहेत. एक चेंडू काढला तर तो लाल असण्याची संभाव्यता?

Solve: n(S) = 5+4+3 = 12. n(लाल) = 5. P = 5/12

उदाहरण 7: [AND Trick]

एका पिशवीत 3 पांढरे, 4 काळे चेंडू. एकामागून एक 2 चेंडू काढले (परत न ठेवता). दोन्ही पांढरे येण्याची संभाव्यता?

Solve: पहिला पांढरा = 3/7. दुसरा पांढरा = 2/6. P = 3/7 × 2/6 = 6/42 = 1/7

7. 5 Secret Tricks - Exam Hall साठी

Trick 1: "किमान एक" = 1 - P(एकही नाही)

तीन नाणी टाकली. किमान एक छापा येण्याची संभाव्यता?
P(एकही छापा नाही) = P(TTT) = 1/8. उत्तर = 1 - 1/8 = 7/8. सोपे.

Trick 2: "आणि" = गुणाकार, "किंवा" = बेरीज

पहिल्या नाण्यावर छापा AND दुसऱ्यावर काटा = 1/2 × 1/2 = 1/4.
फाशावर 2 OR 5 = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Trick 3: Leap Year मध्ये 53 रविवार

Leap Year = 366 दिवस = 52 आठवडे + 2 दिवस. ते 2 दिवस (रवि-सोम), (सोम-मंगळ)...(शनि-रवि) = 7 शक्यता. 53 रविवार साठी 2 शक्यता. P = 2/7

Trick 4: 1 ते N मधून संख्या निवडणे

1 ते 20 मधून 3 ने विभाज्य संख्या: 3,6,9,12,15,18 = 6 संख्या. P = 6/20 = 3/10.
Shortcut: [N/विभाजक] = [20/3] = 6. P = 6/20.

Trick 5: मुलगा-मुलगी प्रश्न

30 मुले, 20 मुली. एक विद्यार्थी निवडला. मुलगा असण्याची P = 30/50 = 3/5.
मुलगी = 20/50 = 2/5. बेरीज = 1.

8. Police Bharti, Talathi, ZP - 30 Solved Questions

Q1. [Basic]

फासा टाकल्यावर सम संख्या येण्याची संभाव्यता?

उत्तर: {2,4,6} = 3/6 = 1/2

Q2. [Basic]

दोन नाणी टाकल्यावर दोन छापे येण्याची संभाव्यता?

उत्तर: {HH} = 1/4

Q3. [Cards]

राजा किंवा राणी मिळण्याची संभाव्यता?

उत्तर: 4+4=8. P=8/52=2/13

Q4. [Dice]

दोन फास्यांची बेरीज 7 येण्याची संभाव्यता?

उत्तर: 6 मार्ग. P=6/36=1/6

Q5. [Balls]

5 लाल, 3 निळे. लाल चेंडू मिळण्याची संभाव्यता?

उत्तर: 5/8

Q6. [Coin]

तीन नाण्यांत किमान एक काटा येण्याची संभाव्यता?

उत्तर: 1-P(HHH)=1-1/8=7/8

Q7. [Cards]

काळा राजा मिळण्याची संभाव्यता?

उत्तर: काळे राजे=2. P=2/52=1/26

Q8. [Dice]

दोन फास्यांची बेरीज 12 येण्याची संभाव्यता?

उत्तर: (6,6) फक्त 1 मार्ग. P=1/36

Q9. [Dice]

सम संख्या किंवा 5 येण्याची संभाव्यता?

उत्तर: {2,4,5,6}=4. P=4/6=2/3

Q10. [Number]

1 ते 10 मधून मूळ संख्या निवडण्याची संभाव्यता?

उत्तर: {2,3,5,7}=4. P=4/10=2/5

Q11. [Police Bharti 2023]

2025 मध्ये 53 रविवार असण्याची संभाव्यता? (2025 Leap Year नाही)

उत्तर: 365 दिवस=52 आठवडे+1 दिवस. 53 रविवार साठी तो 1 दिवस रविवार पाहिजे. P=1/7

Q12. [Talathi 2022]

1 ते 50 मधून 5 ने विभाज्य संख्या निवडण्याची संभाव्यता?

उत्तर: [50/5]=10 संख्या. P=10/50=1/5

Q13. [Cards]

चित्र पत्ता (J,Q,K) मिळण्याची संभाव्यता?

उत्तर: 12/52=3/13

Q14. [Balls]

4 पांढरे, 5 काळे. एकामागून एक 2 चेंडू (परत न ठेवता). दोन्ही काळे येण्याची P?

उत्तर: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18

Q15. [Dice]

फासा टाकला. 3 किंवा 3 पेक्षा मोठी संख्या येण्याची P?

उत्तर: {3,4,5,6}=4. P=4/6=2/3

Q16. [Coin]

4 नाणी टाकली. सर्व छापे येण्याची P?

उत्तर: n(S)=2⁴=16. n(E)=1. P=1/16

Q17. [Number]

दोन अंकी संख्या निवडली. ती सम असण्याची P?

उत्तर: 10 ते 99 = 90 संख्या. सम=45. P=45/90=1/2

Q18. [Cards]

लाल राजा किंवा काळी राणी मिळण्याची P?

उत्तर: लाल राजे=2, काळ्या राण्या=2. P=4/52=1/13

Q19. [Dice]

दोन फाश्यांच्या संख्यांचा गुणाकार 6 येण्याची P?

उत्तर: (1,6)(2,3)(3,2)(6,1)=4. P=4/36=1/9

Q20. [Student]

40 मुले, 60 मुली. एक लीडर निवडला. तो मुलगा असण्याची P?

उत्तर: 40/100=2/5

9. 20 Extra Practice Questions - तुमच्यासाठी

1. फासा टाकल्यावर 7 येण्याची संभाव्यता?

2. दोन नाणी टाकल्यावर एक छापा एक काटा येण्याची P?

3. बदामचा गुलाम मिळण्याची P?

4. दोन फास्यांची बेरीज 1 येण्याची P?

5. 6 लाल, 4 हिरवे चेंडू. हिरवा मिळण्याची P?

6. मूळ संख्या किंवा सम संख्या येण्याची P? (फासा)

7. तीन नाण्यांत फक्त 1 छापा येण्याची P?

8. काळा पत्ता मिळण्याची P?

9. दोन फास्यांची बेरीज 13 येण्याची P?

10. 1 ते 25 मधून 4 ने विभाज्य संख्या निवडण्याची P?

11. 2028 मध्ये 53 शनिवार असण्याची P? (Leap Year)

12. 5 पांढरे, 5 काळे चेंडू. एकामागून एक 2 पांढरे (परत ठेवून) येण्याची P?

13. फासा टाकला. 2 पेक्षा लहान संख्या येण्याची P?

14. दोन नाणी टाकली. दोन्हीवर सारखे निकाल येण्याची P?

15. 1 ते 100 मधून वर्ग संख्या निवडण्याची P?

16. पत्त्याच्या कॅट मध्ये A, J, Q, K मिळण्याची P?

17. दोन फासे. पहिल्यावर 6 आणि दुसऱ्यावर 5 येण्याची P?

18. 10 मुले, 15 मुली. 2 विद्यार्थी निवडले. दोन्ही मुली असण्याची P?

19. फासा 2 वेळा टाकला. दोन्ही वेळेस 6 येण्याची P?

20. 52 पत्त्यांतून एक पत्ता काढला. तो न राजा न राणी असण्याची P?

10. Exam Hall मधल्या 3 चुका - 100% टाळा

✅ चूक 1: n(S) चुकीचा घेणे
2 फासे = 36. 3 नाणी = 8. 2 पत्ते = 52C2. हे पाठ करा. n(S) चुकला तर सगळं चुकलं.

✅ चूक 2: "किमान" आणि "फक्त" मध्ये गोंधळ
"किमान 1 छापा" म्हणजे 1, 2 किंवा 3 छापे. "फक्त 1 छापा" म्हणजे नक्की 1च. शब्द नीट वाचा.

✅ चूक 3: उत्तर 1 पेक्षा मोठे
संभाव्यता कधीही 1 पेक्षा मोठी नसते. 5/4, 2.5 असे उत्तर आले तर 100% चूक आहे. लगेच Check करा.

Quick Revision Table - पाठ करा

प्रकार	n(S)	Formula	Trick
1 नाणे	2	P = n(E)/2	H, T
2 नाणी	4	P = n(E)/4	HH, HT, TH, TT
3 नाणी	8	P = n(E)/8	किमान 1 = 1-1/8=7/8
1 फासा	6	P = n(E)/6	सम=3/6=1/2
2 फासे	36	P = n(E)/36	बेरीज 7 = 6/36=1/6
पत्ते	52	P = n(E)/52	राजा=4/52=1/13

🎯 All The Best For Police Bharti, Talathi, ZP 🎯

संभाव्यता हा विषय आता तुमचा आवडता झाला पाहिजे. रोज 10 प्रश्न सोडवा. Coin, Dice, Card चे Basic पाठ करा. परीक्षेत 2 मिनिटात 2 मार्क्स पक्के.

ही पोस्ट तुमच्या Police Bharti, Talathi, ZP च्या अभ्यास ग्रुप वर Share करा. एक Share = एका मित्राचे 2 मार्क्स पक्के + तुमचे पुण्य.

उद्या: "वयवारी आणि सरासरी" चे 5 Trick देणार. 100% प्रश्न सुटतील. जय हिंद! जय महाराष्ट्र! 🚔