Day 12: संभाव्यता Math Trick | Probability Shortcut MPSC Police Talathi

संभाव्यता कशी सोडवायची? 1 मार्क पक्का | Police Bharti, Talathi साठी सोपे गणितनमस्कार मित्रांनो 🙏 Police Bharti, Talathi, ZP, MPSC, SSC परीक्षेत बुद्धिमत्ता आणि गणित या विषयात संभाव्यता (Probability) वर 1 ते 2 प्रश्न हमखास येतात. नाणेफेक, फासा, पत्ते, गोळ्या - हे शब्द दिसले की समजायचं संभाव्यतेचा प्रश्न आहे.हा विषय नशीबाचा वाटतो, पण 100% लॉजिकचा आहे. फक्त 1 सूत्र आणि 4 नियम पाठ केले की 20 सेकंदात उत्तर निघतं. आज आपण तेच शिकणार आहोत.1. संभाव्यता म्हणजे काय? Basic Conceptसोप्या भाषेत: एखादी घटना घडण्याची "शक्यता" किती आहे, ते मोजणे म्हणजे संभाव्यता.उदाहरण: नाणे उडवले. छापा पडण्याची शक्यता किती? उत्तर सगळ्यांना माहीत आहे - 50%. म्हणजेच 1/2. हेच संभाव्यतेत लिहायचं.👉 मुख्य सूत्र: संभाव्यता = अपेक्षित घटना / एकूण घटना P(E) = अनुकूल निकालांची संख्या / एकूण निकालांची संख्या P(E) = n(E) / n(S)3 महत्वाचे शब्द: प्रयोग (Experiment): नाणे उडवणे, फासा टाकणे. नमुना अवकाश (Sample Space S): प्रयोगातून मिळू शकणारे सर्व निकाल. नाण्यासाठी S = {छापा, काटा}. म्हणजे n(S) = 2. घटना (Event E): आपल्याला हवी असलेली गोष्ट. "छापा पडणे" ही घटना. म्हणजे E = {छापा}. म्हणून n(E) = 1.आता सूत्र वापरा: P(छापा) = n(E) / n(S) = 1 / 2 = 0.5.3 गोल्डन नियम: संभाव्यता 0 ते 1 च्या दरम्यानच असते. 0 म्हणजे घटना कधीच घडणार नाही. 1 म्हणजे 100% नक्की घडणार. संभाव्यता कधीच 1 पेक्षा जास्त किंवा Negative येत नाही. जर उत्तर 1.5 आलं तर 100% चूक.सर्व निकालांच्या संभाव्यतेची बेरीज 1 असते. P(छापा) + P(काटा) = 1/2 + 1/2 = 1.2. परीक्षेत हमखास येणारे 4 प्रकार आणि Trickप्रकार 1: नाणेफेक - Coin1 नाणे: n(S) = 2 → {H, T} 2 नाणी: n(S) = 4 → {HH, HT, TH, TT} 3 नाणी: n(S) = 8 → {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} Trick: n नाण्यांसाठी एकूण निकाल = 2ⁿप्रश्न: दोन नाणी एकाच वेळी उडवली. किमान एक छापा पडण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: एकूण निकाल n(S) = 4. अपेक्षित घटना E = {HH, HT, TH}. "किमान एक" म्हणजे 1 किंवा 2. n(E) = 3. P(E) = 3 / 4 = 0.75. शॉर्ट Trick: "किमान एक" साठी = 1 - P(एकही नाही). P(एकही छापा नाही) = P(TT) = 1/4. म्हणून 1 - 1/4 = 3/4.प्रकार 2: फासा - Dice1 फासा: n(S) = 6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 फासे: n(S) = 36. Trick: n फाश्यांसाठी एकूण निकाल = 6ⁿप्रश्न: फासा टाकला असता मूळ संख्या येण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: एकूण n(S) = 6. मूळ संख्या = {2, 3, 5}. म्हणजे n(E) = 3. P(E) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0.5.प्रश्न: दोन फासे टाकले असता बेरीज 9 येण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: n(S) = 36. बेरीज 9 येणारे जोड्या: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). n(E) = 4. P(E) = 4 / 36 = 1 / 9.प्रकार 3: पत्ते - Cardsएकूण पत्ते = 52. 4 प्रकार: प्रत्येकी 13 पत्ते → किलवर ♠, बदाम ♥, चौकट ♦, इस्पिक ♣. लाल: बदाम, चौकट = 26 पत्ते. काळे: किलवर, इस्पिक = 26 पत्ते. प्रत्येक प्रकारात: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. चित्राचे पत्ते: राजा, राणी, गुलाम = 3 × 4 = 12 पत्ते.प्रश्न: पत्त्याच्या कॅटमधून एक पत्ता काढला असता तो राजा असण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: n(S) = 52. राजा = 4 पत्ते. n(E) = 4. P(E) = 4 / 52 = 1 / 13.प्रश्न: काळा रंगाचा गुलाम येण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: काळे गुलाम = 2 (किलवरचा गुलाम, इस्पिकचा गुलाम). n(E) = 2. P(E) = 2 / 52 = 1 / 26.प्रकार 4: गोळ्या/चेंडू - Ballsप्रश्न: एका पिशवीत 5 लाल, 4 हिरवे, 3 निळे चेंडू आहेत. एक चेंडू काढला तर तो लाल असण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: एकूण चेंडू n(S) = 5 + 4 + 3 = 12. लाल चेंडू n(E) = 5. P(E) = 5 / 12.3. वेळ वाचवणाऱ्या 3 Secret TricksTrick 1: "किंवा" (OR) चा नियम - बेरीज कराजेव्हा प्रश्नात "किंवा" येतो तेव्हा संभाव्यता + करायची. P(A किंवा B) = P(A) + P(B)प्रश्न: फासा टाकला असता 2 किंवा 5 येण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: P(2) = 1/6. P(5) = 1/6. P(2 किंवा 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.Trick 2: "आणि" (AND) चा नियम - गुणाकार कराजेव्हा "आणि" येतो आणि दोन्ही घटना स्वतंत्र असतात, तेव्हा गुणाकार करायचा. P(A आणि B) = P(A) × P(B)प्रश्न: एक नाणे आणि एक फासा एकाच वेळी टाकले. नाण्यावर छापा आणि फाश्यावर 6 येण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: P(छापा) = 1/2. P(6) = 1/6. P(छापा आणि 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12.Trick 3: "किमान एक" ची Trick"किमान एक" विचारले की डायरेक्ट करणे अवघड जाते. तेव्हा हे सूत्र वापरा: P(किमान एक) = 1 - P(एकही नाही)प्रश्न: तीन नाणी टाकली. किमान एकदा काटा येण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: P(एकही काटा नाही) = P(सर्व छापे) = P(HHH) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8. P(किमान एक काटा) = 1 - 1/8 = 7/8. 2 सेकंदात उत्तर.4. Police Bharti मध्ये आलेले 5 प्रश्न सोडवून दाखवलेप्रश्न 1: वर्ष 2024 लीप वर्ष आहे. 2024 मध्ये 53 रविवार असण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: लीप वर्ष = 366 दिवस = 52 आठवडे + 2 दिवस. 52 आठवड्यात 52 रविवार नक्की आहेत. आता उरलेल्या 2 दिवसात 1 रविवार आला पाहिजे. 2 दिवसांच्या जोड्या: (रवि-सोम), (सोम-मंगळ), (मंगळ-बुध), (बुध-गुरु), (गुरु-शुक्र), (शुक्र-शनि), (शनि-रवि). n(S) = 7. यात रविवार असलेल्या जोड्या: (रवि-सोम), (शनि-रवि). n(E) = 2. P(E) = 2/7.प्रश्न 2: 1 ते 20 अंकांपैकी एक अंक निवडला. तो 3 ने विभाज्य असण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: n(S) = 20. 3 ने विभाज्य अंक: 3, 6, 9, 12, 15, 18. n(E) = 6. P(E) = 6/20 = 3/10.प्रश्न 3: पत्त्याच्या कॅटमधून एक पत्ता काढला. तो एकतर राजा किंवा बदामचा असण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: P(राजा) = 4/52. P(बदाम) = 13/52. पण बदामचा राजा दोन्हीत आला आहे. तो एकदाच धरायचा. P(राजा किंवा बदाम) = P(राजा) + P(बदाम) - P(बदामचा राजा) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13.प्रश्न 4: एका बॉक्समध्ये 3 पांढरे आणि 2 काळे चेंडू आहेत. एकामागून एक दोन चेंडू काढले (परत न ठेवता). दोन्ही पांढरे निघण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: पहिला पांढरा: P1 = 3/5. आता 2 पांढरे, 2 काळे उरले. एकूण 4. दुसरा पण पांढरा: P2 = 2/4 = 1/2. दोन्ही "आणि" ने जोडले आहेत, म्हणून गुणाकार: 3/5 × 1/2 = 3/10.प्रश्न 5: एका वर्गात 30 मुले आणि 20 मुली आहेत. वर्गप्रतिनिधी निवडायचा आहे. मुलगा निवडला जाण्याची संभाव्यता किती? उत्तर: एकूण n(S) = 30 + 20 = 50. मुले n(E) = 30. P(E) = 30/50 = 3/5 = 0.6 = 60%.5. 100% मार्क मिळवण्यासाठी शेवटच्या 3 टिप्सn(S) आधी लिहा: एकूण किती निकाल आहेत ते आधी 100% बरोबर काढा. 90% चूक इथेच होते."किमान", "जास्तीत जास्त", "फक्त" शब्दांना जपून वाचा: किमान 1 म्हणजे 1, 2, 3... सर्व. फक्त 1 म्हणजे फक्त 1.उत्तर 0 ते 1 मध्ये आहे का ते चेक करा: 2/3 = 0.66 बरोबर. पण 3/2 = 1.5 आले तर लगेच समजा चुकलंय.मित्रांनो, संभाव्यता हा 1 मार्क फ्री मध्ये मिळवण्याचा विषय आहे. रोज 5 प्रश्न सोडवा.तुम्हाला हा लेख समजला का? Comment मध्ये सांगा. संभाव्यतेवर कोणता प्रश्न अडतो तो विचारा.All the best for Police Bharti!