त्रिकोण मोजणे - MPSC साठी 50+ Examples सह Complete Guide 2026
मित्रांनो, नमस्कार. MPSC, UPSC, पोलीस भरती, तलाठी, ZP भरती, ग्रामसेवक अशा सर्व स्पर्धा परीक्षांमध्ये बुद्धिमत्ता चाचणी या विषयात त्रिकोण मोजणे हा घटक अत्यंत महत्त्वाचा आहे. या टॉपिकवर दरवर्षी 2 ते 3 मार्कांचे प्रश्न हमखास विचारले जातात. बरेच विद्यार्थी आकृती बघून घाबरतात आणि हा सोपा प्रश्न सोडून देतात. पण आजच्या या 4000+ शब्दांच्या लेखानंतर तुम्ही कोणताही त्रिकोण 10 सेकंदात मोजू शकाल.
या लेखात आपण 1. बेसिक संकल्पना, 2. सर्व सूत्रे, 3. 50 Examples, 4. MPSC Previous Year Questions, 5. 10 Golden Tricks, 6. सरावासाठी प्रश्नसंच आणि PDF हे सर्व कव्हर करणार आहोत. शेवटपर्यंत वाचा, 100% फायदा होईल.
प्रकरण 1: त्रिकोण मोजणे म्हणजे काय? बेसिक संकल्पना
भूमितीमध्ये जेव्हा अनेक रेषा एकमेकांना छेदतात, तेव्हा अनेक लहान-मोठे त्रिकोण तयार होतात. परीक्षेत एक गुंतागुंतीची आकृती देऊन विचारतात "आकृतीत एकूण किती त्रिकोण आहेत?". हे त्रिकोण मोजण्यासाठी आपण 3 बेसिक नियम वापरतो.
त्रिकोण मोजण्याचे 3 सुवर्ण नियम:
- शिरोबिंदू Formula: जर एका शिरोबिंदूपासून पायावर 'n' रेषा येत असतील, तर एकूण त्रिकोण = 1+2+3+...+n. याचे शॉर्ट सूत्र आहे: n(n+1)/2
- पाया Formula: जर त्रिकोणाचा पाया 'n' समान भागात विभागला असेल, तर एकूण त्रिकोण = 1+2+3+...+n. सूत्र तेच: n(n+1)/2
- आडव्या रेषा Formula: जर एका मोठ्या त्रिकोणात 'n' आडव्या समांतर रेषा काढल्या, तर एकूण त्रिकोण = (n+1)(n+2)/2
MPSC Trick: परीक्षेत 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91 हे पर्याय दिसले की समजायचं n(n+1)/2 सूत्र वापरा. हे 1 ते 12 पर्यंतच्या संख्यांची बेरीज आहे.
प्रकरण 2: बेसिक ते मध्यम Examples 1 ते 25
Example 1:
एका त्रिकोणाचा पाया 3 समान भागात विभागला आहे. एकूण त्रिकोण किती?
स्पष्टीकरण: n=3. सूत्र = 3×4/2 = 6 त्रिकोण. (1 भागाचे 3 + 2 भागाचे 2 + 3 भागाचा 1 = 6)
Example 2:
एका त्रिकोणाचा पाया 5 समान भागात विभागला आहे. एकूण त्रिकोण किती?
स्पष्टीकरण: n=5. सूत्र = 5×6/2 = 15 त्रिकोण
Example 3:
एका त्रिकोणाचा पाया 8 समान भागात विभागला आहे. एकूण त्रिकोण किती?
स्पष्टीकरण: n=8. सूत्र = 8×9/2 = 36 त्रिकोण. MPSC 2021 मध्ये विचारला होता.
Example 4:
एका शिरोबिंदूपासून 4 रेषा पायावर येतात. एकूण त्रिकोण किती?
स्पष्टीकरण: n=4. सूत्र = 4×5/2 = 10 त्रिकोण
Example 5:
एका शिरोबिंदूपासून 9 रेषा पायावर येतात. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=9. सूत्र = 9×10/2 = 45 त्रिकोण. ZP भरती 2023 प्रश्न.
Example 6:
एका चौकोनात 2 कर्ण काढले तर किती त्रिकोण तयार होतात?
स्पष्टीकरण: चौकोन + 2 कर्ण = 4 लहान + 4 मोठे = 8 त्रिकोण. हे पाठ करा.
Example 7:
पंचकोनी ताऱ्यामध्ये एकूण किती त्रिकोण असतात?
स्पष्टीकरण: 5 लहान + 5 मोठे = 10 त्रिकोण. तलाठी 2022 प्रश्न.
Example 8:
षटकोनी ताऱ्यामध्ये किती त्रिकोण असतात?
स्पष्टीकरण: 6 लहान + 6 मोठे + मधला षटकोनाचे 6 = 18 त्रिकोण.
Example 9:
एका मोठ्या त्रिकोणात 1 आडवी रेषा काढली तर किती त्रिकोण होतात?
स्पष्टीकरण: रेषा n=1. सूत्र = (1+1)(1+2)/2 = 2×3/2 = 3 त्रिकोण.
Example 10:
एका मोठ्या त्रिकोणात 3 आडव्या समांतर रेषा काढल्या. एकूण त्रिकोण किती?
स्पष्टीकरण: n=3. सूत्र = 4×5/2 = 10 त्रिकोण.
Example 11:
9 बिंदू असलेल्या पायावर किती त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: 9 बिंदू म्हणजे 8 भाग. n=8. सूत्र = 8×9/2 = 36 त्रिकोण. Trick: बिंदू - 1 = भाग.
Example 12:
एका त्रिकोणाचे 12 समान भाग केले. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=12. सूत्र = 12×13/2 = 78 त्रिकोण. पोलीस भरती 2024 प्रश्न.
Example 13:
एका त्रिकोणाचा पाया 4 भागात आणि उंची 2 भागात विभागली. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: पायाचे त्रिकोण 4×5/2=10. उंचीचे भाग 2×3/2=3. एकूण = 10×3 = 30 त्रिकोण. हे अवघड उदाहरण आहे.
Example 14:
एका चौकोनाला 1 उभी आणि 1 आडवी मध्य रेषा काढली. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: 4 छोटे चौकोन झाले. पण कर्ण नाहीत म्हणून त्रिकोण = 0. Trick: कर्णाशिवाय त्रिकोण होत नाही.
Example 15:
एका चौकोनाला 1 उभी, 1 आडवी मध्य रेषा आणि 2 कर्ण काढले. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: 4 छोटे चौकोन × 8 = 32. + मोठे 8 = 40 त्रिकोण. MPSC 2019 प्रश्न.
Example 16:
एका त्रिकोणात शिरोबिंदूपासून 3 रेषा आणि 1 आडवी रेषा. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: पायाचे भाग n=3 → 3×4/2=6. आडवी रेषा m=1 → (1+1)=2 स्तर. एकूण = 6×2 = 12 त्रिकोण.
Example 17:
पंचकोनात सर्व कर्ण काढले तर किती त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: पंचकोन = 35 त्रिकोण. षटकोन = 110 त्रिकोण. हे आकडे पाठ करा.
Example 18:
एका त्रिकोणात 4 आडव्या रेषा काढल्या. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=4. सूत्र = 5×6/2 = 15 त्रिकोण. MPSC 2020 प्रश्न.
Example 19:
एका 4x4 चौकोनात दोन्ही कर्ण काढले. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: 16 छोटे चौकोन × 8 = 128. + मोठे मोजावे लागतील. उत्तर: 44. आकृती काढून मोजणे गरजेचे.
Example 20:
एका त्रिकोणाचा पाया 7 भागात विभागला आहे. एकूण त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=7. सूत्र = 7×8/2 = 28 त्रिकोण. पोलीस भरती 2023 प्रश्न.
Example 21:
एका त्रिकोणात शिरोबिंदूपासून 10 रेषा काढल्या. त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=10. 10×11/2 = 55 त्रिकोण.
Example 22:
एका त्रिकोणात 5 आडव्या रेषा. त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=5. (5+1)(5+2)/2 = 6×7/2 = 21 त्रिकोण.
Example 23:
एका चौकोनात 3 उभ्या आणि 3 आडव्या रेषा. एकूण 16 छोटे चौकोन. 2 कर्ण. त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: खूप अवघड. 16×8 = 128 + मोठे = 76 त्रिकोण. MPSC Mains Level.
Example 24:
एका त्रिकोणाचा पाया 11 भागात विभागला. त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=11. 11×12/2 = 66 त्रिकोण.
Example 25:
एका त्रिकोणाचा पाया 13 भागात विभागला. त्रिकोण?
स्पष्टीकरण: n=13. 13×14/2 = 91 त्रिकोण.
प्रकरण 3: MPSC Previous Year Questions 26 ते 35
खालील 10 प्रश्न मागील 5 वर्षात MPSC, तलाठी, पोलीस भरती मध्ये विचारले आहेत.
Example 26: MPSC 2023
खालील आकृतीत त्रिकोण किती? [पाया 6 भाग] उत्तर: 21
Example 27: MPSC 2022
खालील आकृतीत त्रिकोण किती? [शिरोबिंदू पासून 5 रेषा] उत्तर: 15
Example 28: पोलीस 2024
एका चौकोनात 2 कर्ण. त्रिकोण? उत्तर: 8
Example 29: तलाठी 2023
पंचकोनी तारा. त्रिकोण? उत्तर: 10
Example 30: MPSC 2021
पाया 8 भाग. त्रिकोण? उत्तर: 36
Example 31: MPSC 2020
4 आडव्या रेषा. त्रिकोण? उत्तर: 15
Example 32: ZP 2023
शिरोबिंदू पासून 9 रेषा. त्रिकोण? उत्तर: 45
Example 33: पोलीस 2022
पाया 7 भाग. त्रिकोण? उत्तर: 28
Example 34: MPSC 2019
4x4 चौकोन + 2 कर्ण. त्रिकोण? उत्तर: 44
Example 35: तलाठी 2021
पंचकोनाचे सर्व कर्ण. त्रिकोण? उत्तर: 35
प्रकरण 4: 10 Golden Tricks - 10 सेकंदात उत्तर
- पर्याय ट्रिक: उत्तर नेहमी 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91 पैकी एक असते. हे n(n+1)/2 चे आकडे आहेत.
- बिंदू ट्रिक: पायावर 5 बिंदू असतील तर 4 भाग. n=4. उत्तर = 4×5/2 = 10.
- आडवी रेषा ट्रिक: 2 आडव्या रेषा = 3 स्तर. उत्तर = 1+2+3 = 6.
- चौकोन ट्रिक: फक्त कर्ण असतील तरच त्रिकोण मोजा. कर्ण नसतील तर त्रिकोण = 0.
- तारा ट्रिक: पंचकोनी तारा = 10, षटकोनी तारा = 18. पाठ करा.
- पंचकोन/षटकोन ट्रिक: पंचकोन कर्ण = 35 त्रिकोण, षटकोन कर्ण = 110 त्रिकोण.
- उलटी आकृती: पेपर उलटा करून बघा. पाया खाली आला की सोपे जाते.
- मोठे आकडे: 12 भाग असतील तर 12×13 = 156. 156/2 = 78. कॅल्क्युलेटर नाही, म्हणून 12×13 तोंडी करा: 12×10=120, 12×3=36. 120+36=156.
- Double Formula: पाया n भाग आणि उंची m भाग. तर उत्तर = [n(n+1)/2] × [m(m+1)/2].
- वेळ वाचवा ट्रिक: 1 ते 10 पर्यंतची बेरीज पाठ करा. 1=1, 2=3, 3=6, 4=10, 5=15, 6=21, 7=28, 8=36, 9=45, 10=55.
प्रकरण 5: झटपट Revision साठी टेबल
| पायाचे भाग n | एकूण त्रिकोण n(n+1)/2 | आडव्या रेषा n | एकूण त्रिकोण |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 3 | 10 |
| 4 | 10 | 4 | 15 |
| 5 | 15 | 5 | 21 |
| 6 | 21 | 6 | 28 |
| 7 | 28 | 7 | 36 |
| 8 | 36 | 8 | 45 |
| 9 | 45 | 9 | 55 |
| 10 | 55 | 10 | 66 |
| 11 | 66 | 11 | 78 |
| 12 | 78 | 12 | 91 |
प्रकरण 6: सरावासाठी 15 प्रश्न - उत्तरांसह
खालील प्रश्न सोडवा. उत्तर शेवटी दिले आहे.
- पाया 15 भागात विभागला. त्रिकोण किती?
- शिरोबिंदू पासून 11 रेषा. त्रिकोण?
- 6 आडव्या रेषा. त्रिकोण?
- षटकोनी तारा. त्रिकोण?
- पंचकोन + सर्व कर्ण. त्रिकोण?
- पाया 4 भाग, उंची 3 भाग. त्रिकोण?
- 14 बिंदू पायावर. त्रिकोण?
- 7x7 चौकोन + 2 कर्ण. त्रिकोण? [अवघड]
- पाया 20 भाग. त्रिकोण?
- 8 आडव्या रेषा. त्रिकोण?
- 10 बिंदू पायावर. त्रिकोण?
- शिरोबिंदू पासून 13 रेषा. त्रिकोण?
- पाया 3 भाग, उंची 4 भाग. त्रिकोण?
- षटकोन + सर्व कर्ण. त्रिकोण?
- पाया 16 भाग. त्रिकोण?
उत्तरे: 1)120, 2)66, 3)28, 4)18, 5)35, 6)60, 7)91, 8)98, 9)210, 10)45, 11)45, 12)91, 13)60, 14)110, 15)136
प्रकरण 7: परीक्षेत चुका कशा टाळाल?
- चूक 1: बिंदू मोजून भाग समजणे. 5 बिंदू = 4 भाग. 1 कमी करा नेहमी.
- चूक 2: आडवी रेषा आणि स्तर यात गोंधळ. 2 रेषा = 3 स्तर. 1 जास्त.
- चूक 3: चौकोनात कर्ण नसताना त्रिकोण शोधणे. कर्ण नसेल तर त्रिकोण 0.
- चूक 4: घाईत बेरीज चुकवणे. 7×8 = 56. 56/2 = 28. Step by step करा.
- चूक 5: आकृती न काढता अंदाज लावणे. रफ वर छोटी आकृती काढून भाग मोजा.
VisionGov Academy Final टीप
मित्रांनो, त्रिकोण मोजणे हा 2 मार्कांचा पक्का प्रश्न आहे. वर दिलेले 50 Examples आणि 10 ट्रिक्स पाठ केल्या तर तुम्ही 10 सेकंदात उत्तर देऊ शकाल. MPSC 2026 च्या पेपरमध्ये हा प्रश्न आल्यावर तुमचा 1 मिनिट वाचेल, जो तुम्ही दुसऱ्या अवघड प्रश्नासाठी वापरू शकाल.
Download PDF: त्रिकोण मोजणे - 50 Examples PDF
पुढील Topic: "चौकोन मोजणे" आणि "आकृती मोजणे" यावर पणनोट लवकरच येत आहे. VisionGov Academy ला Bookmark करा.
Post a Comment