मराठी वर्णमाला संपूर्ण माहिती: स्वर, व्यंजन, जोडाक्षरे आणि नियम PDF | MPSC, Police Bharti, Talathi Exam

गुणोत्तर प्रमाण कसे सोडवायचे? 2 मार्क पक्के

Police Bharti, Talathi, ZP, MPSC, SSC साठी संपूर्ण गणित

नमस्कार मित्रांनो 🙏
Police Bharti, Talathi, ZP, MPSC, SSC परीक्षेत गुणोत्तर आणि प्रमाण (Ratio and Proportion) या घटकावर 2 ते 3 प्रश्न हमखास येतात. हा विषय सगळ्या गणिताचा पाया आहे. भागीदारी, मिश्रण, नफा-तोटा, वेळ-काम सगळीकडे गुणोत्तर लागतं.

आज आपण गुणोत्तर म्हणजे काय, प्रमाण म्हणजे काय, आणि 10 सेकंदात प्रश्न सोडवण्याच्या 5 Trick शिकणार आहोत. शेवटी 5 प्रश्न पण सोडवून दाखवले आहेत.

1. गुणोत्तर म्हणजे काय? Ratio Basics

सोप्या भाषेत: दोन संख्यांची तुलना करणे म्हणजे गुणोत्तर.

उदाहरण: एका वर्गात 20 मुले आणि 30 मुली आहेत. तर मुलांचे मुलींशी गुणोत्तर = 20 : 30 = 2 : 3.
याचा अर्थ 2 मुलांमागे 3 मुली आहेत.

3 महत्वाचे नियम:
1. गुणोत्तराला एकक नसते. 2 kg : 3 kg = 2:3. पण 2 kg : 3 liter ची तुलना होऊ शकत नाही. एकक समान पाहिजे.
2. गुणोत्तराचा क्रम महत्वाचा. 2:3 आणि 3:2 एकसारखे नाहीत.
3. गुणोत्तर अपूर्णांकात लिहिता येते. a:b = a/b. याला 'a' पूर्व पद आणि 'b' उत्तर पद म्हणतात.

2. प्रमाण म्हणजे काय? Proportion

नियम: जेव्हा दोन गुणोत्तरे समान असतात तेव्हा त्याला प्रमाण म्हणतात.

उदाहरण: 2:3 = 4:6. याला 2:3 :: 4:6 असे लिहितात.
याला वाचतात: "2 चे 3 शी जे गुणोत्तर, तेच 4 चे 6 शी आहे."

👉 मुख्य सूत्र: a:b :: c:d असेल तर ad = bc

म्हणजे बाह्य पदांचा गुणाकार = मध्य पदांचा गुणाकार.
यात a, d = बाह्य पदे (Extremes). b, c = मध्य पदे (Means).

उदाहरण: 2:3 :: 4:6. इथे 2×6 = 3×4 = 12. म्हणून हे प्रमाण बरोबर आहे.

3 प्रकारचे प्रमाण:

1. चौथा प्रमाण - Fourth Proportional: a:b :: c:d असेल तर 'd' ला चौथा प्रमाण म्हणतात. d = bc/a.
2. तिसरा प्रमाण - Third Proportional: a:b :: b:c असेल तर 'c' ला तिसरा प्रमाण म्हणतात. c = b²/a.
3. मध्यम प्रमाण - Mean Proportional: a:b :: b:c असेल तर 'b' ला मध्यम प्रमाण म्हणतात. b = √(a×c).

3. परीक्षेत वेळ वाचवणाऱ्या 5 Secret Tricks

Trick 1: बेरीज करून वाटणी करणे

प्रश्न: 600 रुपये A, B, C मध्ये 2:3:5 या प्रमाणात वाटा.

उत्तर:
गुणोत्तरांची बेरीज = 2+3+5 = 10 भाग.
1 भाग = 600 / 10 = 60 रुपये.
A चा वाटा = 2 × 60 = 120 रुपये.
B चा वाटा = 3 × 60 = 180 रुपये.
C चा वाटा = 5 × 60 = 300 रुपये.

Trick: "बेरीज करा आणि एका भागाची किंमत काढा".

Trick 2: दोन्ही गुणोत्तर जोडणे

प्रश्न: A:B = 2:3 आणि B:C = 4:5 आहे. तर A:B:C किती?

उत्तर:
B दोन्ही ठिकाणी समान करा. 3 आणि 4 चा LCM = 12.
A:B = 2:3 = 8:12. B:C = 4:5 = 12:15.
आता B = 12 समान झाला. म्हणून A:B:C = 8:12:15.

Trick 3: संख्या वाढवणे-कमी करणे

प्रश्न: 5:7 या गुणोत्तराच्या प्रत्येक पदात कोणती संख्या मिळवली असता गुणोत्तर 3:4 होईल?

उत्तर:
समजा x मिळवली. (5+x) / (7+x) = 3/4.
तिरकस गुणाकार: 4(5+x) = 3(7+x) => 20+4x = 21+3x => x = 1.

Trick: कमी करायची असेल तर (5-x)/(7-x) = 3/4 करा.

Trick 4: नाणी-नोटांचे प्रश्न

प्रश्न: एका पिशवीत 1 रुपया, 50 पैसे, 25 पैशांची नाणी 2:3:4 या प्रमाणात आहेत. एकूण 90 रुपये असतील तर 1 रुपयाची नाणी किती?

उत्तर:
समजा, नाण्यांची संख्या 2x, 3x, 4x आहे.
किंमत = (2x×1) + (3x×0.50) + (4x×0.25) = 90
2x + 1.5x + 1x = 90 => 4.5x = 90 => x = 20.
1 रुपयाची नाणी = 2x = 2×20 = 40 नाणी.

Trick 5: मिश्रणाचे प्रश्न

प्रश्न: दूध आणि पाणी 5:2 या प्रमाणात आहे. 21 लिटर मिश्रणात किती पाणी मिळवले असता गुणोत्तर 5:3 होईल?

उत्तर:
21 लिटरमध्ये दूध = 5/7 × 21 = 15 लिटर. पाणी = 2/7 × 21 = 6 लिटर.
दूध तेवढेच राहणार. फक्त पाणी वाढवायचे.
15 / (6+x) = 5/3 => 45 = 30+5x => 15 = 5x => x = 3 लिटर पाणी मिळवा.

4. Police Bharti मध्ये आलेले 5 प्रश्न सोडवून दाखवले

प्रश्न 1: 15 आणि 45 यांचे मध्यम प्रमाणपद किती?

उत्तर: मध्यम प्रमाण b = √(a×c) = √(15×45) = √675 = √(225×3) = 15√3.

प्रश्न 2: 8, 12, 20 यांचे चौथे प्रमाणपद किती?

उत्तर: 8:12 :: 20:d => 8×d = 12×20 => 8d = 240 => d = 30.

प्रश्न 3: A आणि B च्या पगाराचे गुणोत्तर 3:5 आहे. जर A चा पगार 2000 रुपयांनी वाढला तर गुणोत्तर 5:7 होते. तर B चा पगार किती?

उत्तर: समजा A=3x, B=5x.
(3x+2000) / 5x = 5/7 => 7(3x+2000) = 25x => 21x+14000 = 25x => 14000 = 4x => x=3500.
B चा पगार = 5x = 5×3500 = 17500 रुपये.

प्रश्न 4: एका संख्येचे 40% दुसऱ्या संख्येच्या 60% एवढे आहे. तर त्या दोन संख्यांचे गुणोत्तर किती?

उत्तर: 40/100 × A = 60/100 × B => 40A = 60B => A/B = 60/40 = 3/2.
म्हणून A:B = 3:2.

प्रश्न 5: 3:4 या गुणोत्तराच्या पूर्व पदात 20% वाढ आणि उत्तर पदात 10% घट केली तर नवीन गुणोत्तर किती?

उत्तर: समजा पदे 3 आणि 4 आहेत.
नवीन पूर्व पद = 3 × 120/100 = 3.6.
नवीन उत्तर पद = 4 × 90/100 = 3.6.
नवीन गुणोत्तर = 3.6 : 3.6 = 1:1.

5. 100% मार्क मिळवण्यासाठी शेवटच्या 3 टिप्स

1. एकक समान करा: 2 मीटर : 50 सेमी असेल तर आधी 200 सेमी : 50 सेमी = 4:1 करा.
2. A:B आणि B:C दिले की B समान करा. LCM पद्धत वापरा.
3. मध्यम प्रमाण फक्त धन संख्या असते. √(a×c) करताना - उत्तर येत नाही.

मित्रांनो, गुणोत्तर हा पायाभूत विषय आहे. रोज 10 प्रश्न सोडवा.

तुम्हाला हा लेख समजला का? Comment मध्ये सांगा. कोणता प्रकार अवघड वाटतो तो विचारा.

All the best for Police Bharti!